n次元ベクトルの長さ

まずは以下の2つのベクトルva,vbは直交することを前提(公理?)とする。

1次元ベクトルv1の長さは、

k次元ベクトルvkについて

が成立するならば、(k+1)次元ベクトルvk+1については上記の前提および三平方の定理より、

となり、(k+1)次元ベクトルについても成立する。従ってｎ次元ベクトルｖｎの長さは一般に、

で与えられる。